임시블로그

이번에는 앞서 공부한 상태옵저버를 이산시스템에 적용시켜 보겠다.

실제 개발환경에서는 연속시스템이 아닌 이산시스템을 기반으로 하기 때문이다. 하지만 그렇게 큰 차이는 없다.

연속시스템과 다른부분은 x(k+1)일 것이다. x의 k+1에서의 상태는 k일 때의 x와 u에 의해 정해진다. 따라서 A와 B역시 이를 고려하여 설계해야겠다.

위 세식은 연속시스템과 같은 방식으로 도출할 수 있다.

아래 식을 보자

즉, 에러 e의 안정적인 수렴을 위해서는 (A-LC)의 pole이 단위원 내에 존재해야 한다.

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위 실선까지가 앞선 연속시스템을 이산시스템으로 옮긴것이다. 지금까지는 센서를 통한 측정값과 추정값간의 오차를 줄여나가는 제어를 다루었다. 이에 더 나아가 예측값까지 다루고자한다.

우선, 예측과 추정은 어떻게 다를까?

예측은 '다음'을 내다보는 것이고, 추정은 측정된 정보에 대하여 판단하는 것이다. 아래 식을 보자.

  : k타임에서 예측한, k+1타임에서의 예측값

 예측값을 토대로한 k+1타임에서의 추정값

k타임의 추정 x와 입력 u를 기반으로 다음 타임인 k+1에서의 상태x를 '예측'하였다. 이는 실제 k+1타임이 오기전, k타임에서 내다본 예측이다.

k+1타임이 되면서 측정출력 y(k+1)와 예측출력 y(k+1|k)간의 오차와 예측상태 x(k+1|x)를 기반으로 추정상태 x(k+1|k+1)을 구하였다.

측정한 상태 x(k+1)과 출력 y(k+1)에는 실제값과는 다른, 노이즈가 있을 수 있다. 추정값과 측정값사이의 오차 e가 0으로 수렴한다면, 그리고 시스템의 제어를 이 추정값을 기반으로 한다면 측정값 x에 노이지가 발생하더라도 이의 영향을 최소화 할 수 있다.

위의 모든 식을 통해 아래와 같은 결론이 나온다. 증명은 스스로 해보자

지난번 다룬것

1. 상태 피드백과 옵저버

2. 가제어와 가관측

※추정과 예측의 필요성을 약간 다루었다.

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상태 피드백 제어는 모든 state에 대한 정보를 필요로 한다.(x1, x2, x3등등 모든 값을 알아야 이들을 제어할 수 있다.)

만약 일부 state를 구할 수 없다면 어떻게 해야할까? 우리는 예측, 추정(Estimate)이라도 해야 할 것이다. 이를 도와주는 것 또한 Observer이다.

위 블록선도를 보자. 제일 위의 블록은 실제 시스템이며 그 아래는 예측, 추정을 한것이다. 좀더 상세하게 설명하자면 1번 블록은 입력 u에 따른 실제 시스템의 거동이고 2번 블록은 실제 입력에 따라 추정된 시스템의 거동이다. 위 블록선도는 이 추정된 시스템의 거동을 피드백하고 있다.

자, 그냥 설명을 들으면 저 시스템에 무슨 문제가 있겠는가 생각 할 수 있으나 과연 저 추정된 시스템의 거동이 실제거동과 일치한다고 할 수 있을까?

우리가 센서를 통해서 얻는 시스템의 거동에는 Noise가 있을수 있으며 이를 완벽히 배제할 수 없다. 센서는 분명 정확하겠지만 절대적이 아닐 수 있다. 약간의 오차가 있을 수 있을 수 있다.

지난번에 다른 상태피드백에 이어서 PID제어를 할 것이며 이 PID제어를 잘 다루면 위에서 언급하는 약간의 오차를 커버할 수 있을 것이다. PID제어는 추정과 예측을 다루지 않는다.

하지만 우리가 앞으로 다루고자 하는 제어에는 이 추정과 예측이 매우 중요하다. 우리는 추정과 예측을 통해서 이 약간의 오차까지 통제하에 두고자 한다.

자, 다시 문제로 돌아가자, 우리가 피드백 받아야 하는것은 그저 추정된 시스템의 거동이 아니다. 왜냐하면 실제 시스템의 거동과 추정된 시스템의 거동사이에 오차가 있기 때문이다. 여기서 피드백 받아야 하는것은 이 실제 시스템과 추정 시스템 사이의 오차이다.

실제 출력 Y와 추정출력 Y 사이의 오차를 피드백 L을 받고 이를 기반으로 예측, 추정 후 피드백 K를 입력에 반영한다.

  : x의 추정값.

 : x의 실제값과 추정값 사이의 오차

위 블록선도와 함께 기본적으로 숙지해두어야할 수식이다.

expononential e와 오차의 e를 함께 쓰고있어서 헷갈릴 수 있으니 주의하자.

위 블록선도를 풀어서 위와 같은 식이 나온다. 참고로 Y와 Y추정값 사이의 차가 위 블록선도의 ε이다.

상태에 대한 오차가 0에 수렴한다면 추정값이 실제값과 같다고 할 수 있다.

예시를 통해 연습해 보자.

1)가제어, 가관측성

2)closed loop

3)pole placement

위 식에서 우리가 고유치(eigenvalue)를 -1,-1로 설정하고자 한다면 l1=3, l4=4로 정해주면 된다.

여기서 한가지 짚고갈것이 있다. eigenvalue의 설정과 그 의의이다. 제어를 배우신 분이라면 알것이라 생각된다.

좌측 사진은 eigenvalue를 -1,-1로 잡은것이다.

eigenvalue가 좌측으로 간다면, 즉 더 작아진다면 어떻게 될까?

역라플라스변환에 의한 x,y의 지수함수표현은 eignenvalue에 의해 정해지며 -방향으로 커질수록 exponential의 수렴속도는 커질것이다.

그런데 위 식에서 LCe를 눈여겨보자.

LCe = LC(x-x^) = LC(y-y^)이다.

우리가 실제값이라고 생각하는 x에는 센서를 통해 측정하는 만큼 사실 잡음(Noise)가 있을 수 있다.  우리가 eigenvalue를 설정하기 위해 잡아주는 l1과 l2에 의해 이 잡음들이 증폭될 가능성이 있다.

우리는 이를 고려하여 eigenvalue및 L값을 설정해줘야 할것이다.

또, 앞으로는 x에 대하여 실제값이라 하지 않고, 측정값이라 하도록 하겠다.

우리나라 대학 학부과정에서 배우는 사항이나 본격적으로 들어가기 전에 한번 다루도록 합니다.

아래는 기본적인 제어시스템중 하나입니다. 입력 u가 들어가서 출력 y가 나오며 아무런 피드백도, 순환도 없습니다.

Open-loop 시스템 입니다.

아래로 그어진 선은 신경쓰지 마시고, 위 블록선도에 대해 아래와 같은 식을 전개할 수 있습니다.

이 시스템에 대해서 우리가 입력 u에 따른 출력 y를 정의내릴 수 있고 입력 u를 직접 제어하여 출력 y를 조절해 줄 수 있다고 해도 이 연속적인 시간시스템에 대해서 인간의 힘으로는 연속적인 제어가 불가능 합니다. 그렇다면 그 시스템 스스로 출력을 대해 설계자가 원하는 방식으로 입력u를 '알아서 제어'하도록 해주어야 하겠습니다.

위의 Open-loop시스템을 아래와 같은 Closed-loop 시스템으로 바꿔줄 수 있습니다.

시스템에 들어가는 입력 u는 게인K가 곱해진 KX와 r간의 관계식에 의해 정해진다.

r(t)와 KX에 대해서 어떻게 설명해야 할지 모르겠다...

본 제어특론은 제어시스템과 관련하여 초보자를 대상으로 하는것이 아님을 미리 밝혀둡니다.(본인은 초보자이지만..)

본 과목을 이해하기 위해서, 본인의 경우 가제어, 가관측, 옵저버 까지는 학습한 상태임을 미리 밝힙니다. 하지만 PID나 근궤적 등은 학습하지 않았습니다.