Optimal Control(1)

들어가기 전에 다음 사이트를 참조할 수 있음을 알린다.

http://www.cyworld.com/jung40l/13661169

최적제어에 대해서 다룬다. 총 4파트로 나누어 설명하겠으며 이번 파트는 뒤의 세 파트와는 다른 자료(일본 도서)를 참고했으므로 사용하는 언어가 다를 수 있다.

1.정정행렬(正定行列)

nXn 대칭행렬이며 다음과 같은 특징을 가진다.

임의의 0이아닌 벡터 x∈R (x≠[0,...,0]T)에 대해, 2차형식함수 xTQx가 xTQx>0의 관계를 만족하는 대칭행렬 Q∈R(nXn)을 정정행렬이라 한다. 또한 정정행렬은 대칭행렬만으로 정의됨에 주의한다.

풀어서 설명하면

(1)Q는 대칭행렬이다.

(2)Q는 실수행렬이다.

(3)xTQx는 실수행렬이다.

(4)xTQx는 0보다 크다.

위 모든 조건을 만족하는 행렬 Q이다.

아래 예제를 다뤄보자. 문제를 풀기전에 앞으로 행렬을 다음과 같이 표기하기도 할것임을 밝혀둔다.

Q=[1 0; 0 1]

1행 : 1 0

2행 : 0 1

예제1)다음 행렬의 정정성(正定性)을 확인하시오.

Q=[1 0; 0 1]

 xTQx = x1^2+x2^2 > 0

x1과 x2가 동시에 0이 아닌 한 xTQx는 항상 0보다 크다. 따라서 정정행렬이다.

예제2)다음행렬의 정정성을 확인하시오.

Q=[1 1;1 1]

xTQx = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = (x1+x2)^2 >=0

위의 경우 예를들어 x1= -1, x2=1의 경우 0일 수 있기 때문에 정정행렬이 아니다.

예제3)다음행렬의 정정성을 확인하시오.

Q=[1 2; 2 1]

xTQx = x1^2 + 4x1x2+ x2^2 = (x1+2x2)^2 - 3x2^2

따라서 정정행렬이 아니다.

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차수가 낮은 행렬은 그 정정성을 확인하기 쉽지만 차수가 높아질수록 이를 판별하기 어려워진다. 이를 위한 판별법이 실베스터 판별법이다. 이 방법은 대칭행렬의 주좌소행렬의 행렬식의 부호를 통해 정정성을 판별한다.

실베스터 판별법

3차 행렬의 경우 3개의 주좌소행렬은 아래와 같다.

위 주좌소행렬의 행렬식을 통해 대칭행렬의 정정성을 판별할 수 있다.

예제)다음 대칭행렬의 정정성을 알아보시오

Q = [2 -1 0;-1 1 0; 0 0 1]

1차 주좌소행렬 : Q(1) = [2]

2차 주좌소행렬 : Q(1,2) = [2, -1;-1 1]

3차 주좌소행렬 : Q(1,2,3) = Q

det(Q(1)) = 2

det(Q(1,2)) = 1

det(Q(1,2,3)) = det(Q) = 1

따라서 Q는 정정행렬이다.

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2. Ricatti equation

우리가 제어기를 설계할 때, 대상 시스템 방정식은 아래와 같다.

위 시스템행렬 A와 입력벡터 B를 포함한 Ricatti 방정식은 아래와 같다.

증명은 후에 다루도록 하겠다.

행렬 Q는 설계자가 정하는 정정행렬이며 정수 R 역시 설계자가 정하는 양의 정수이다.

행렬 H는 Ricatti방정식을 만족하는 해 이다. Ricatti 방정식의 해 H는 다음과 같다.

:시스템식이 가제어인 경우, 임의의 정정행렬 Q와 힘의의 양의 정수 R에 대해, Ricatti 방정식은 실수로 이루어진 정정행렬의 해를 가진다. 일반적으로 Ricatti방정식은 복수의 해 H를 가지지만, 해가 실수로 이루어진 정정행렬은 단 하나이다.

다시 정리하자면

(1)시스템식이 가제어일 때

(2)H는 정정행렬이다. 따라서

(3)H는 P.D(Positive Definite: 위의 정정행렬의 조건을 만족)이다.

아래 예제를 다뤄보자.

예제)가제어인 아래의 시스템의 Ricatti 방정식의 해를 구하시오

풀이)

h는 실수해만을 가지기 때문에 h2=1이다.

정정성을 조사하면 h3=√3일 때 h가 정정성을 가짐을 알 수 있다.

※Q와 R에 있어서 중요한것은 그 값이 아니라 Q와 R의 비라는 것을, 이해하고 있지 않더라고 기억해두기 바란다.

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3.최적제어 시스템의 설계

가제어인 시스템

에 있어서 평가함수(목적함수)는 다음과 같다.

 이 목적함수를 최소로 하는 제어기를 설계하면 목적하는 사항에 대한 Cost를 최소로 하는 제어기를 설계할 수 있다.

대강 설명하자면 위 함수에서 Q와 관계된 첫째항은 상태의 에너지를 가리키며 R와 관련된 둘째항은 입력의 에너지를 가리킨다. 이를 적분한것이 목적함수이다.

상태와 입력에 대한 가중치 Q,R은 설계자가 정할 수 있다. 이 두 가중치를 어떻게 설계하느냐에 따라 그 제어기의 성능이 정해진다 할 수 있겠다.

위 시스템에 대해 목적함수를 최소화하는 제어기는 Ricatti방정식의 실정정행렬의 해 를 사용해

위와같이 구할 수 있다. 이 제어기를 이용해 제어를 할 때, 목적함수식이 최소가 되며

가 된다. 이는 아래의 블록선도로 표현할 수 있다.

목적함수의 가중치 설정법

J의 수식 중 xTQx를 아래와 같이 풀 수 있다.

아래의 질량-댐퍼 시스템과 그 목적함수를 보자.

r은 입력에 대한 가중치이며 본래 목적함수

와 비교하여

를 구할 수 있다. 이에대한 Ricatti 방정식과 제어기는

이다.

여기서 문제는 목적함수 내의 q11, q22, R의 값에 따른 제어기에 의한 시스템의 응답이다.

나중에 그래프로 더 자세하게 다루겠지만 한가지 요소가 상승하면 그 요소에 대한 수렴속도가 빨라지고, 최대치가 낮아지며 나머지 요소에 대한 수렴속도가 낮아지고, 최대치가 높아진다. 따라서 이러한 값들의 비율이 중요하다.

즉, Q와 R의 값 그 자체보다 그 비율이 중요하다는 것이다. 이는 시행착오가 필요한 문제이기도 하다.

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실전, 최적제어를 이용한 가속도제어

아래의 댐퍼시스템의 가속도를 제어하고자 한다.

눈치가 빠르신 분이라면 알겠지만 평범하게 보면 J에 가속도 요소가 들어갈 수 없다. 왜냐하면 xTQx의 x에는 변위와 속도요소까지만 있기 때문이다. 가속도 제어를 위해서는

그러나 (2)식으로는 u(t)의 제곱항이 존재할 수 없기 때문에 목적함수로 나타낼 수 없다.

따라서 입력항 u(t)를 다음과 같이 적분기를 사용하여 생성하도록 한다.

이에 의해 확대된 시스템은 위와 같으며, 새로운 상태벡터 z(t)와 일련의 A,b,c는

가 된다. 목적함수 J는

이에 대한 정정행렬 Q는

정정성 판별을 통해 Q가 정정성을 가지기 위해서는 q11, q22, qa가 양수여야 함을 알 수 있다.

Ricatti 방정식을 통해 해 H와 제어기를 설계할 수 있다.