Linear Quadratic(LQ) Optimal Control

선형 2차 시스템의 최적제어에 대해서 다룬다,

앞선 글의 Optimal Control을 먼저 학습해두기 바란다.

1.시작하기에 앞서

LQ Optimal Control은 선형시스템의 상태 피드백 제어의 게인을 구하기 위한 방법이다.

선형시스템을 대상으로 하기 때문에 비선형 시스템이 대상일 경우 선형화를 해야겠다.

Motivation

1. MIMO(Multi Input Multi Output)시스템의 pole placement(특성 방정식의 근을 찾는 것) 상태 피드백 제어는 상태입력의 크기를 고려하지 않기 때문에 상태의 갯수가 커질수록 계산이 간단하지 않다.

ex)

2차 시스템에서 Gain K의 미지수는 4개인데 비해 주어지는 방정식은 2개이다. 이를 풀기 위해서는 여러가지 제한사항이 필요하다.

2. 강인제어와는 달리 최적제어의 목표는 시스템이 목표값에 최소의 Cost(에너지)로 최대한 빠르게 수렴하는 것이다.

시스템의 목표값이 정해지면 이에 접근하기 위해 입력 u가 필요해 진다. 최적제어는 이 목표값에 도달하는 Cost와 시간을 최소화 하는데 목적을 두고있다.

2.LQ 시스템

아래와 같은 시스템에 있어서

평가함수(목적함수)는 다음과 같다.(이전 글의 3.최적제어 시스템의 설계 참조)

tf는 최종시간이다.

목적함수 J의 첫째항은 최종시간 tf에서 목표값 x와 상태값 간의 오차(error)에 대한 penalty 이며 적분항에서 첫째항은 순시적인 에러, 둘째항은 순시적인 제어입력의 규모와 관계되어 있다. 아직은 이해하기 어려우니 S, Q, R이 각각 그런의미라는 것만 기억해 두자.

최적제어문제는 상태(x와 관계된)에러와 제어(u와 관계)에러의 최적의 절충된 값을 찾는것이 요점이다. 따라서 Q와 R의 절대적인 값보다는 이 두 값의 비율이 더욱 중요시 된다.

여기서 S와 Q 는 nxn의 symmetric psd(positive semi-definite) 행렬이며, R은 mxm pd(positive definite)행렬이다.

3.LQ Problem의 Solution

평가함수 J를 최소화 하는 최적제어는 아래와 같다,

H는 Ricatti equation의 해 이며는 Gain이다.

tf는 최종시간이다.

실효 최저코스트는 아래의 식으로 주어진다.

눈여겨 볼것이 있는데 H(tf)가 S로 수렴한다는 사실과 위의 J의 optimal식이 J의 식의 제일 첫항과 관계있다는 것이다.

4. Stationary LQ(Infinite time Hprizon LQ)

 위의 최적제어는 선형상태 피드백제어이지만 피드백 Gain이 시간의 함수임을 알 수 있다. 이것은 시스템의 거동이이 유한한 시간으로 한정되어 있기 때문이다.(duration : tf-t0)

 이 시변 피드백 게인은 Ricatti Equation의 해인 H(t)에 의존하고 있다. 시스템의 H(t)가 유한시간의 Ricatti equation으로 주어지기 때문에 우리는 H(t)을 최종시간(tf)에 역방향을 향한 적분식으로 구할 수 있다.

Ricatti equation는 x와 u에 의존하지 않기 때문에 제어기에 적용되기 전에 off-line 으로 연산될 수 있다.

ex)

Stationary LQ(Infinite time Horizon LQ)

실용적인 관점에서 보아, 우리는 시변인 gain보다는 시불변인 constant한 gain이 더 필요하다.

아래의 세 조건을 보자.

1. 제어대상이 제어가능하다

2. 최종시간 tf가 무한이다. 즉, tf=infinite

3. A, Q를 이루는 L()이 관측가능하다.

위의 세 조건이 만족할 때 아래와 같은 목표함수를 최소화 하는 최적제어를 구할 수 있다.

앞선 예시의 H(t)를 보면 

tf가 infinite라고 하면 tf근처의 시간을 제외한 모든 시간에서 H(t)가 constant함을 알 수 있다.

그리고 constant한 영역에서의 Ricatti equation은 아래와 같다.

목적함수의 식은 아래와 같았다.

이때, closed loop system의 는 점근적으로 안정하다.

x(tf)는 tf가 infinite가 됨에따라 0으로 수렴하게 된다. 결국 적분항만이 남게되어

가 된다.

Linear Quadratic Integral Control(LQI)

(위에서 e만 눈여겨 보면 됨, v->r)

r이 목표값이며 e는 출력값 y와 목표값 r간의 오차임을 숙지하며 r이 시간이 지남에 따라 y에 수렴함을 잊지말자.

[그래프는 나중에 삽입]

PSD, PD