확률가우시안

확률과 통계를 잘하시는분은 넘어가셔도 좋습니다.

실제 예시를 들어서 간단하게만 다루고자 합니다.

주사위를 예로 들어 보자. 하나의 주사위를 던지는 실험에서 샘플공간은 아래와 같다.

Sample space

각 이벤트의 확률은 1/6이다.

두개의 주사위를 던졌을 때의 샘플공간은 아래와 같다.

확률(Probability)

하나의 주사위를 던졌을 때 짝수가 나오는 경우(Event)는 아래와 같다.

확률 P(E)=0.5 이다.

두개의 주사위를 던졌을 때, 그 합이 10인 경우는 아래와 같다.

확률 P(V)=3/36=1/12 이다.

어떤 이벤트 A에 대하여 그 이벤트가 일어날 확률은

P(A) 로 표현할 수 있다.

0<=P(A)<=1

(0은 일어나지 않음, 1은 항상 일어남)

교집합 확률(the joint probability)

1.

짝수 이벤트A와 홀수 이벤트 B

두 집합의 교집합

교집합의 확률

2.

'주사위1을 던졌을 때 5가 나올' 확률

이벤트 : 주사위 1을 던졌을 때 5가 나온다.

'주사위 2를 던졌을 때 5가 나올' 확률

두 주사위 모두 5가 나올 확률

3.독립된 두 이벤트의 교집합의 확률

합집합(Union)

서로 독립된(independent), 배타인(exclusive) 두 집합간의 합집합

서로 의존(dependent)인 두 집합간의 합집합

주사위 1또는 주사위 2에서 숫자 5가 나올 확률

두 주사위의 합이 10이 될 확률

조건부 확률(Conditional Probability)

P(B)≠0 일 때, 이벤트 B가 일어났을 때 이벤트 A가 일어날 확률 P(A|B)

ex1)

상자 안에 흰공 2개, 검은공 2개가 들어있고 이 안에서 한개의 공을 뽑을 때

P(W)=1/2

P(W1)=1/4

P(B)=1/2

P(B1)=1/4

P(W1|W)=(1/4)/(1/2)=1/2

P(B1|W)=0/(1/2)=0

ex2)

상자 안에 흰공 2개, 검은공 2개가 들어있고 차례로 1개씩 총 2개의 공을 꺼낼 때

처음에 흰공을 뽑았을 때, 다음에 흰공을 뽑을 확률은?

W1을 뽑은 후 W2를 뽑을 확률과 W2를 뽑고 W1을 뽑을 확률

Bayes' rule

두 사건 A와 B에 대해서 다음 식이 성립하며

두 사건이 서로 독립일때 아래 식이 성립한다.

이산 확률변수

샘플공간Ω에서 확률변수 X는 각각의 유일한 변수값에 대응한다.

예를들어 주사위 실험에서, 확률변수 X는 아래와 같은 이산값들을 가진다.

확률밀도함수는 확률변수 X에 대하여 아래와 같이 정의된다.

기대값

.확률변수 X에 대한 기대값은 아래와 같이 정의된다.

주의할 것은 평균과는 개념이 약간 다르다는 것이다.

주사위를 12번 던졌을 때 평균값은 12을 던져봐야 알 수 있다. 그러나 각 주사위의 숫자가 나올 확률은 1/6이기 때문에 12번을 던졌을 때 그 값의 평균이 21/6이 될것임을 기대할 수 있다. 이는 각각의 변수값에 확률을 곱한 값이다.

분산과 표준편차

확률변수 X에 대한 분산은 표준편차σ 의 제곱이며 아래식과 같다.

연속확률변수

앞선 이산확률변수와는 다르게 함수적으로 표현될 수 있는 연속된확률변수로 아래와 같은 식으로 표현된다.

Y=f(X)

연속된 값으로 이루어진 x에 대한 기대값은 모든 x에 대한 x와 확률p의 곱의 적분으로 표현될 수 있을 것이다.

확률변수 x에 대한 확률p의 분포그래프 이다.여기서 중요한것은 저 그래프의 넓이가 확률의 총 합으로 그 값이 1이라는 것이다.

표준편차는 아래 과정을 통해서 간략하게 계산할 수 있다.

probability density function:PDF, 확률밀도함수

앞서 설명한 확률분포는 아래와 같이 균일분포로 표현할 수 있으며

다음과 같은 정규분포로 표현할 수 있다.

정규분포 및 표준정규분포와 관련된 심층적인 개별학습이 필요하다.